La Paradoja de Bernoulli

La paradoja de Bernoulli conocida también como la teoría de la utilidad,  motivó la investigación sobre otros teoremas como por ejemplo el Teorema Central del Límite, cuyo principio no ha podido ser probado en los juegos de azar o loterías.

La moderna teoría de la utilidad  fue retomada por Von Neumann y Morgenstern quienes introdujeron en 1944 la teoría de axiomática de la utilidad cuyo propósito era generar la elección del logaritmo como utilidad y deducir su forma funcional a partir de ciertas propiedades básicas o axiomas.

Para Von Neuman, la forma más sencilla de analizar nuestras actitudes frente al riesgo es utilizando sorteos o loterías. Los axiomas intentan formalizar nuestras preferencias ante parejas de loterías. Esto podría suponer una cierta coherencia lógica o racionalidad en las elecciones que realizamos, no obstante, los seres humanos tendemos a alejarnos de estos comportamientos racionales.

El problema propuesto por Bernoulli era el siguiente:

El sujeto A lanza una moneda una y otra vez hasta que al caer la misma al suelo aparece cara, el sujeto A se compromete a entregar al sujeto B un dolar  si en la primera caida aparece “cara”, dos dolares si la cara aparece en la segunda caida, cuatro dolares si aparece en la tercera, ocho si aparece en la cuarta, y asi sucesivamente, doblandose el numero de dolares en cada caida adicional.  Supongamos que queremos determinar la expectativa de ganancia del sujeto A.

El problema anteriormente mencionado se plantea como un paradoja, que consiste en:  si se identifica el valor del juego con la ganancia monetaria esperada, dicho valor resulta ser infinito, pero es evidente que ninguna persona razonable va a estar dispuesta a pagar una cifra astronomica por adquirir el derecho a jugar, por tanto, la ganancia monetaria esperada es incosistente con el comportamiento de la personas razonables.

Para resolver esta paradoja, Bernoulli, propone calcular la esperanza matematica del juego en terminos de utilidad en lugar de hacerlo en terminos monetarios, si se imponen ciertas restricciones sobre la funcion de utilidad, se puede lograr  que la esperanza matematica tenga un valor finito, y luego una vez conocida la utilidad esperada del juego se puede hallar el precio maximo en dinero qe el sujeto estaria dispuesto a pagar por participar en el mismo.

Un ejemplo práctico de la paradoja en el siguiente link: http://www.mathematik.com/Petersburg/Petersburg.html

Bibliografia:

Bernoulli, D.: “Exposition of a new Theory  of the Measurement of Risk”, enero 1954, pp 23

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